Мне кажется что АКБ ни при чем. Даже плохонький сразу после зарядного покрутил бы малость. Просто его надолго не хватит, плохонького. А так по описанию очень похоже на то, что нет толковой массы. А может и стартер. У меня было такое на Волге, заводилась только на свежезаряженном аккумуляторе...